一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．选B.
分析：A不正确，因为当
时，
有界非单调．
C不正确，因为当
时，
有界但单调减少．
D不正确．因为当
时，
单调增加但无界．
2．选D.
分析：根据无穷小量阶的比较的概念，只需计算比的极限．
3．选A.
分析：B中函数
是初等函数，在[-1,1]有定义，从而连续，但
在
不存在，故
不满足定理的第二个条件．
C中函数
在
与
处无定义，故它在
不连续，不满足定理的第一个条件．
D中函数
在点
间断，故不满足定理的第一个条件．
A中函数
是初等函数，定义域为
，故在
上连续，
在
存在，在
可导，而且
在
与
的值相等，因此
在
上满足罗尔定理．
4．选D.
分析：由不定积分的性质可知：
，故A不正确，同理应有
，
，故B和C都不正确。
5.选C.
分析：根据旋转体体积的计算公式，曲边梯形
绕
轴旋转一周的旋转体体积
，本题中所给D不是以
为底的曲边梯形，而是曲边梯形
中除去曲边梯形
的部分，故所求为两旋转体体积之差，因此应该为平方之差，而不是差的平方，所以A，B不对，由题意知，当
有
，所以应为
与
之差，即选C正确．
二、填空题（每小题4分，共28分）
1．填
分析：
，由
，得：
2．填
分析：要使函数
在
处连续，必须满足
，即
。
3．填
分析：根据判定拐点的必要条件和充分条件，应求出二阶导数．
令
，由
，得
又当
时，
；
时，
，所以曲线上横坐标为
的点为拐点，将
代入曲线方程
中，得
，故拐点坐标为
．
4．填
分析：根据高阶偏导法则，先计算
则
5．填
分析：根据奇函数在对称区间上的定积分为零，
有
。
6．填
分析：
由已知二次积分知：
，
，从而
的积分区域如上图中阴影所示，更换积分次序时，将D表为：
，
，所以
7．填
分析：所给方程为变量可分离方程，分离变量，有
两边积分：
由初始条件
，知
，将
代回，得
，即
三、解答题（共52分）
1．（本题5分）解：
2．（本题7分）解： 方程
两边同时对
求导，可得
化简可得
故曲线
在
点的切线方程为
即
.
3．（本题7分）解：设
，
；
;
所以
.
4．（本题7分）解：由题意知，
， 则
所以原方程通解为：
5．（本题8分）解：求函数的一阶导数，得
因此
在
内有不可导点
和唯一的驻点
，
比较下列值：
故
在
上的最大值为
最小值为
.
6．（本题9分）解：令
则
且
从
时，
从
.
7．（本题9分）
解：积分区域
的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下
=
